"Nếu (p-1)!+1 chia hết cho p thì p là số nguyên tố" là điều hiển nhiên. Vì khi đó p sẽ nguyên tố cùng nhau với các số từ 1 đến p-1, do đó nó không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó.

Chiều ngược lại ta phải chứng minh "nếu p là số nguyên tố thì (p-1)!+1 chia hết cho p".

Xét đa thức:

g ( x ) = ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) . . . ⋅ ( x − ( p − 1 ) ) {\displaystyle g(x)=(x-1)\cdot (x-2)...\cdot (x-(p-1))}

và:

f ( x ) = g ( x ) − ( x p − 1 − 1 ) {\displaystyle f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)} .

Rõ ràng, phương trình g ( x ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle g(x)\equiv 0{\pmod {p}}} có p-1 nghiệm là 1,2,...,p-1.

Theo định lý Fermat nhỏ, x p − 1 − 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle x^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}} có (p-1) nghiệm là 1,2,...,p-1.

Vậy, phương trình f ( x ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p}}} cũng có p-1 nghiệm là 1,2,...,p-1.

Mà đa thức f(x) có bậc nhỏ hơn p-1.

Do đó, theo định lý Lagrange, các hệ số của f(x) đồng dư với 0 theo module p.

Hệ số tự do của f(x) bằng (p-1)!+1. Suy ra điều phải chứng minh.